1997 年考研数学（二） 第 8 题

给了 $f^{\prime }(x_0)=0$ 却没有 $f$ 的显式，典型做法是把 $x_0$ 代入所给微分关系解出 $f^{\prime \prime }(x_0)$，再用极值第二判别法。妙点在于 $\frac{1-e^{-x_0}}{x_0}$ 分子分母在 $x_0>0$ 与 $x_0<0$ 时同号，恒正，故一定是极小值，与 $x_0$ 具体取值无关。

本题考查极值的第二充分条件。 已知 $f^{\prime }(x_0)=0$，只需判断 $f^{\prime \prime }(x_0)$ 的符号。

把 $x_0$ 代入 $x{f}^{\prime \prime }(x)+3x[f^{\prime }(x){]}^2=1-e^{-x}$，因 $f^{\prime }(x_0)=0$，得
$$x_0{f}^{\prime \prime }(x_0)=1-e^{-x_0}\Rightarrow f^{\prime \prime }(x_0)=\frac{1-e^{-x_0}}{x_0}.$$

讨论符号：当 $x_0>0$ 时 $e^{-x_0}<1$，分子 $1-e^{-x_0}>0$、分母 $x_0>0$，故 $f^{\prime \prime }(x_0)>0$；当 $x_0<0$ 时 $e^{-x_0}>1$，分子 $<0$、分母 $<0$，仍有 $f^{\prime \prime }(x_0)>0$。

故无论 $x_0$ 正负恒有 $f^{\prime \prime }(x_0)>0$。由极值第二充分条件，$f(x_0)$ 是 $f(x)$ 的极小值，应选 (B)。