1997 年考研数学（二） 第 9 题

两个信号锁定思路：积分限是「$x$ 到 $x+2\pi$」且被积函数周期 $2\pi$——整周期积分与起点无关，$F$ 必为常数（求导得 $F^{\prime }\equiv 0$ 更直接）。剩下只需定符号：把区间对折用 $\sin (t+\pi )=-\sin t$ 变成 ${\int }_0^{\pi }(e^{\sin t}-e^{-\sin t})\sin tdt$，显见为正。

本题考查周期函数在整周期上的定积分与变限积分求导。 关键是 $e^{\sin t}\sin t$ 以 $2\pi$ 为周期。

周期函数在任一长为周期的区间上积分值相同，故 $F(x)={\int }_x^{x+2\pi }{e}^{\sin t}\sin tdt={\int }_0^{2\pi }{e}^{\sin t}\sin tdt$ 与 $x$ 无关，是常数（也可由 $F^{\prime }(x)=e^{\sin (x+2\pi )}\sin (x+2\pi )-e^{\sin x}\sin x=0$ 直接得知 $F$ 为常数）。

再定符号：把 $[0,2\pi ]$ 拆成 $[0,\pi ]$ 与 $[\pi ,2\pi ]$，后者作代换并用 $\sin (t+\pi )=-\sin t$，得
$$F(x)={\int }_0^{\pi }(e^{\sin t}-e^{-\sin t})\sin tdt.$$
在 $(0,\pi )$ 上 $\sin t>0$，故 $e^{\sin t}-e^{-\sin t}>0$，被积函数非负且不恒为零，积分为正。故 $F(x)$ 为正常数，应选 (A)。