1997 年考研数学（二） 第 10 题

分段函数复合，核心是「用内层 $f(x)$ 的取值去挑外层 $g$ 的分支」。先对 $f$ 定号：$x\ge 0$ 时 $f=-x\le 0$（走 $g$ 的 $\le 0$ 支，得 $2-f=2+x$），$x<0$ 时 $f=x^2>0$（走 $g$ 的 $>0$ 支，得 $f+2=x^2+2$）。分界符号与 $x$ 的分段错位，是本题最易错处。

本题考查分段函数的复合。 按内层 $f(x)$ 的取值落入外层 $g$ 的哪一段来分类。

外层 $g[u]=\{\begin{array}{ll}2-u,& u\le 0,\\ u+2,& u>0,\end{array}$ 这里 $u=f(x)$，需要判断 $f(x)$ 的正负。

由 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x<0,\\ -x,& x\ge 0,\end{array}$ 知：当 $x\ge 0$ 时 $f(x)=-x\le 0$；当 $x<0$ 时 $f(x)=x^2>0$。

故当 $x\ge 0$（$f\le 0$）：$g[f(x)]=2-f(x)=2-(-x)=2+x$；当 $x<0$（$f>0$）：$g[f(x)]=f(x)+2=x^2+2$。即
$$g[f(x)]=\{\begin{array}{ll}{x}^2+2,& x<0,\\ x+2,& x\ge 0.\end{array}$$
应选 (D)。