1997 年考研数学（二） 第 11 题

$x\to -\infty$ 的根式极限，唯一的坑就是 $\sqrt{x^2}=-x$（不是 $x$）。策略是分子分母同除以 $x$，把每个根号写成 $-x\sqrt{(\cdots )}$ 的形式，负号成对出现，最后两个 $-1$ 相乘得 $+1$。若误当 $x\to +\infty$ 处理会得到错误符号。

本题考查 $x\to -\infty$ 时无穷大之比的极限。 关键陷阱：$x\to -\infty$ 时 $\sqrt{x^2}=|x|=-x$，符号务必处理正确。

把原式拆成两个因子之积 $\frac{x}{\sqrt{x^2+\sin x}}\cdot \frac{\sqrt{4x^2+x-1}+x+1}{x}$，分别求极限（$x<0$）。

分母 $\sqrt{x^2+\sin x}=|x|\sqrt{1+\frac{\sin x}{x^2}}=-x\sqrt{1+\frac{\sin x}{x^2}}$，故 $\frac{x}{\sqrt{x^2+\sin x}}=\frac{1}{-\sqrt{1+\frac{\sin x}{x^2}}}\to -1$。

又 $\sqrt{4x^2+x-1}=|x|\sqrt{4+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}=-x\sqrt{4+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}$，故
$$\frac{\sqrt{4x^2+x-1}+x+1}{x}=-\sqrt{4+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}+1+\frac{1}{x}\to -\sqrt{4}+1=-1.$$

于是原极限 $=(-1)\cdot (-1)=1$。