1997 年考研数学（二） 第 12 题

「参数方程 + 其中一支是隐式」的求导，拆成两步：$\frac{dx}{dt}$ 直接对 $x=\arctan t$ 求；$\frac{dy}{dt}$ 则对含 $y$ 的方程整体对 $t$ 隐式求导解出。最后 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$。答案里保留 $t,y$ 是正常的，因为题目并未给出 $y$ 的显式。

本题考查由参数方程与隐函数共同确定的导数。 用 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$，其中 $\frac{dy}{dt}$ 由第二式隐式求导得到。

由 $x=\arctan t$ 得 $\frac{dx}{dt}=\frac{1}{1+t^2}$。

对 $2y-t{y}^2+e^t=5$ 两端关于 $t$ 求导（$y$ 是 $t$ 的函数，$t{y}^2$ 用乘积法则）：
$$2\frac{dy}{dt}-y^2-2ty\frac{dy}{dt}+e^t=0\Rightarrow \frac{dy}{dt}=\frac{e^t-y^2}{2(ty-1)}.$$

故
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{e^t-y^2}{2(ty-1)}\cdot (1+t^2)=\frac{(e^t-y^2)(1+t^2)}{2(ty-1)}.$$