1997 年考研数学（二） 第 13 题

被积函数出现 $e^{2x}$ 乘三角式，别急着硬算——先把 $(\tan x+1{)}^2$ 拆成 ${\sec }^{2}x+2\tan x$。识别关键：$e^{2x}{\sec }^{2}x=e^{2x}(\tan x{)}^{\prime }$，凑成 $d(e^{2x}\tan x)$ 会产生 $-2e^{2x}\tan x$，正好和多出来的 $2\int e^{2x}\tan x$ 抵消，答案是 $e^{2x}\tan x+C$。

本题考查不定积分（凑微分与分部积分）。 先把 $(\tan x+1{)}^2$ 展开、用 ${\tan }^{2}x+1={\sec }^{2}x$ 化简，再观察 $e^{2x}{\sec }^{2}x$ 与 $(e^{2x}\tan x{)}^{\prime }$ 的关系。

$(\tan x+1{)}^2={\tan }^{2}x+2\tan x+1={\sec }^{2}x+2\tan x$，故
$$\int e^{2x}(\tan x+1{)}^{2}dx=\int e^{2x}{\sec }^{2}xdx+2\int e^{2x}\tan xdx.$$

对第一项用分部（${\sec }^{2}xdx=d(\tan x)$）：
$$\int e^{2x}{\sec }^{2}xdx=\int e^{2x}d(\tan x)=e^{2x}\tan x-\int \tan x\cdot 2e^{2x}dx=e^{2x}\tan x-2\int e^{2x}\tan xdx.$$

代回，两个 $2\int e^{2x}\tan xdx$ 恰好抵消：
$$\int e^{2x}(\tan x+1{)}^{2}dx=e^{2x}\tan x-2\int e^{2x}\tan xdx+2\int e^{2x}\tan xdx=e^{2x}\tan x+C.$$