1997 年考研数学（二） 第 14 题

一阶方程写成 $Pdx+Qdy=0$ 时，第一反应是查 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$——相等就是全微分方程，直接凑原函数 $u$，通解 $u=C$。本题两偏导都等于 $2x-2y$，一路顺畅。若没看出全微分，注意 $P,Q$ 都是二次齐次式，用 $y=ux$ 也能做，殊途同归。

本题考查一阶微分方程的通解（全微分方程 / 齐次方程）。 先验证是否为全微分方程。

记 $P=3x^2+2xy-y^2$，$Q=x^2-2xy$。因 $\frac{\partial P}{\partial y}=2x-2y=\frac{\partial Q}{\partial x}$，故原方程是全微分方程，存在原函数 $u(x,y)$ 使 $du=Pdx+Qdy$。

沿折线 $(0,0)\to (x,0)\to (x,y)$ 求 $u$：
$$u(x,y)={\int }_0^{x}3x^{2}dx+{\int }_0^y(x^2-2xy)dy=x^3+x^{2}y-x{y}^2.$$

故通解为 $x^3+x^{2}y-x{y}^2=C$（$C$ 为任意常数）。（本方程各项亦为二次齐次式，令 $u=\frac{y}{x}$ 化为可分离变量方程可得同一通解。）