1997 年考研数学（二） 第 15 题

由解反求方程，两条铁律：其一，非齐次的「解之差」是齐次解——两两相减得到 $e^{-x},e^{2x}$，读出特征根 $-1,2$，齐次方程与系数就定了；其二，剩下的公共项 $x{e}^x$ 必是某个特解，代回左端算出 $f(x)$。整个过程只做减法与一次代入，不需解方程。

本题考查二阶线性非齐次方程解的结构（由解反求方程）。 利用「两解之差是对应齐次方程的解」定出齐次部分，再由一个特解定出右端。

$y_1-y_3=e^{-x}$，$y_1-y_2=e^{2x}-e^{-x}$ 都是对应齐次方程的解，从而 $e^{-x}$ 与 $e^{2x}$ 均为齐次解，对应特征根 ${\lambda }_1=-1,{\lambda }_2=2$。

特征方程 $(\lambda +1)(\lambda -2)={\lambda }^2-\lambda -2=0$，故齐次方程为 $y^{\prime \prime }-y^{\prime }-2y=0$，所求方程形如 $y^{\prime \prime }-y^{\prime }-2y=f(x)$。

三个解都含公共项 $x{e}^x$，即 $y^{\ast }=x{e}^x$ 是非齐次方程的一个特解。代入左端：
$$(y^{\ast }{)}^{\prime \prime }-(y^{\ast }{)}^{\prime }-2y^{\ast }=(2+x)e^x-(1+x)e^x-2x{e}^x=(1-2x)e^x.$$
故 $f(x)=(1-2x)e^x$，所求方程为 $y^{\prime \prime }-y^{\prime }-2y=(1-2x)e^x$。