1997 年考研数学（二） 第 16 题

矩阵方程先「因式分解」再取逆：$A^2-AB=A(A-B)=E$ 立刻给出 $A-B=A^{-1}$，即 $B=A-A^{-1}$，把「解 $B$」化成「求一个逆矩阵」。$A$ 是上三角，$(A\mid E)$ 行变换很快，最后相减即得 $B$。

本题考查矩阵方程与逆矩阵。 由 $A^2-AB=E$ 解出 $B$，关键是提取公因子 $A$。

$A^2-AB=E\Rightarrow A(A-B)=E$，故 $A$ 可逆且 $A-B=A^{-1}$，即 $B=A-A^{-1}$。

用初等行变换求 $A^{-1}$：对 $(A\mid E)$ 化简得
$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -2\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right).$$

于是
$$B=A-A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -2\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$$