1997 年考研数学（二） 第 17 题

含参方程组的标准流程：先用系数行列式 $|A|$ 把参数分成「唯一解区」与「临界值」。$|A|=(\lambda -1)(5\lambda +4)$ 给出两个临界值，逐一代入化增广矩阵、比较 $r(A)$ 与 $r(\overline{A})$——相等则相容（等于未知数个数唯一解、小于则无穷多解），不等则无解。本题 $\lambda =1$ 相容得通解，$\lambda =-\frac{4}{5}$ 不相容无解。

本题考查含参数线性方程组解的判定与求解。 先算系数行列式，按其零点分类讨论。

系数行列式
$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}2& \lambda & -1\\ \lambda & -1& 1\\ 4& 5& -5\end{array}\right|=(\lambda -1)(5\lambda +4).$$
当 $|A|\ne 0$，即 $\lambda \ne 1$ 且 $\lambda \ne -\frac{4}{5}$ 时，方程组有唯一解。

当 $\lambda =1$ 时，对增广矩阵作初等行变换：
$$\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& -1& 1\\ 1& -1& 1& 2\\ 4& 5& -5& -1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& -1& -1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$
此时 $r(A)=r(\overline{A})=2<3$，有无穷多解。取 $x_3=k$ 得通解
$$X=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)+k\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)(k\text{为任意常数}).$$

当 $\lambda =-\frac{4}{5}$ 时，可验证 $r(A)=2$ 而 $r(\overline{A})=3$，$r(A)\ne r(\overline{A})$，方程组无解。