1997 年考研数学（二） 第 18 题

「面积/弧长满足某关系求曲线」的套路：把面积、弧长都写成从固定极角到 $\theta$ 的变上限积分，等式两端对 $\theta$ 求导，积分号立刻消失，化成一阶微分方程。本题得 $r^2=\sqrt{r^2+r^{\prime 2}}$，分离变量并用定点 $M_0(2,0)$ 定常数，结果化简竟是两条直线 $x\mp \sqrt{3}y=2$。

本题考查极坐标下的曲边扇形面积、弧长公式与可分离变量方程。 把「面积 = 弧长的一半」写成积分等式，再对 $\theta$ 求导化为微分方程。

设动点极角为 $\theta$。曲边扇形面积 $S=\frac{1}{2}{\int }_0^{\theta }{r}^2(\theta )d\theta$，弧长 $s={\int }_0^{\theta }\sqrt{r^2+r^{\prime 2}}d\theta$。由题设 $S=\frac{1}{2}s$，即
$$\frac{1}{2}{\int }_0^{\theta }{r}^{2}d\theta =\frac{1}{2}{\int }_0^{\theta }\sqrt{r^2+r^{\prime 2}}d\theta .$$

两端对 $\theta$ 求导，得 $r^2=\sqrt{r^2+r^{\prime 2}}$，即 $r^4=r^2+r^{\prime 2}$，$r^{\prime 2}=r^2(r^2-1)$，$r^{\prime }=\pm r\sqrt{r^2-1}$。分离变量：$\frac{dr}{r\sqrt{r^2-1}}=\pm d\theta$。

积分得 $-\arcsin \frac{1}{r}=\pm \theta +C_0$。代入定点 $M_0(2,0)$（$\theta =0$ 时 $r=2$）得 $-\arcsin \frac{1}{2}=C_0$，即 $C_0=-\frac{\pi }{6}$，于是 $\arcsin \frac{1}{r}=\frac{\pi }{6}\mp \theta$。

故 $\frac{1}{r}=\sin \left(\frac{\pi }{6}\mp \theta \right)$，曲线方程为 $r=\frac{1}{\sin \left(\frac{\pi }{6}\mp \theta \right)}$。由 $r\sin \left(\frac{\pi }{6}\mp \theta \right)=1$ 展开得 $\frac{1}{2}r\cos \theta \mp \frac{\sqrt{3}}{2}r\sin \theta =1$，化为直角坐标即 $x\mp \sqrt{3}y=2$（两条直线）。