1997 年考研数学（二） 第 19 题

综合题按「先定函数、再定常数、最后优化」推进：$x{f}^{\prime }=f+\cdots$ 除以 $x$ 就是标准一阶线性方程，积分因子 $\frac{1}{x}$ 使左边变成 $(f/x{)}^{\prime }$，一步积出 $f$；面积条件补上 $C=4-a$；最后把体积 $V=\pi \int f^2$ 当作 $a$ 的一元函数求极小，$V^{\prime \prime }>0$ 保证是最小值。

本题综合考查一阶线性微分方程、定积分（面积）与旋转体体积的最值。 先解方程求 $f$，用面积条件定常数，再对参数 $a$ 求体积最小。

由 $x{f}^{\prime }(x)=f(x)+\frac{3a}{2}{x}^2$ 得一阶线性方程 $f^{\prime }(x)-\frac{1}{x}f(x)=\frac{3a}{2}x$。积分因子 $e^{-\int \frac{1}{x}dx}=\frac{1}{x}$，故 ${\left(\frac{f}{x}\right)}^{\prime }=\frac{3a}{2}$，积分得 $\frac{f}{x}=\frac{3a}{2}x+C$，即 $f(x)=Cx+\frac{3a}{2}{x}^2$。

由 $f>0$ 及图形 $S$ 面积为 $2$（$f$ 在 $(0,1)$ 上大于零，面积 $={\int }_0^{1}fdx$）：
$${\int }_0^1\left(Cx+\frac{3a}{2}{x}^2\right)dx=\frac{C}{2}+\frac{a}{2}=2\Rightarrow C=4-a.$$
故 $f(x)=(4-a)x+\frac{3a}{2}{x}^2$。

图形 $S$ 绕 $x$ 轴旋转一周，体积
$$V(a)=\pi {\int }_0^1{f}^2(x)dx=\pi {\int }_0^1{\left[(4-a)x+\frac{3a}{2}{x}^2\right]}^{2}dx=\pi \left[\frac{(4-a{)}^2}{3}+\frac{3a(4-a)}{4}+\frac{9a^2}{20}\right].$$

对 $a$ 求导：$V^{\prime }(a)=\pi \left(\frac{a}{15}+\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi (a+5)}{15}$。令 $V^{\prime }(a)=0$ 得 $a=-5$；又 $V^{\prime \prime }(a)=\frac{\pi }{15}>0$，故 $a=-5$ 时旋转体体积最小。