1997 年考研数学（二） 第 20 题

含参积分 ${\int }_0^{1}f(xt)dt$ 先换元 $u=xt$ 变成变上限积分 $\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f$，这样才能求导。分段点 $x=0$ 是全题关键：那里不能用商式，要回到导数定义（$\frac{0}{0}$ 型用洛必达）得 ${\phi }^{\prime }(0)=\frac{A}{2}$；再算 ${\lim }_{x\to 0}{\phi }^{\prime }(x)$ 也得 $\frac{A}{2}$，两者相等即连续。

本题考查变限积分求导、导数定义与连续性讨论。 先把 $\phi (x)$ 化成变上限积分，再分 $x=0$ 与 $x\ne 0$ 求导，最后比较 ${\lim }_{x\to 0}{\phi }^{\prime }(x)$ 与 ${\phi }^{\prime }(0)$。

由 ${\lim }_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=A$ 且 $f$ 连续知 $f(0)=0$。当 $x\ne 0$ 时令 $u=xt$：$\phi (x)={\int }_0^{1}f(xt)dt=\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(u)du=\frac{{\int }_0^{x}f(t)dt}{x}$；当 $x=0$ 时 $\phi (0)={\int }_0^{1}f(0)dt=0$。

当 $x\ne 0$，由商的求导法则
$${\phi }^{\prime }(x)=\frac{xf(x)-{\int }_0^{x}f(t)dt}{x^2}.$$

当 $x=0$，用导数定义（$\frac{0}{0}$ 型，用洛必达）：
$${\phi }^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\phi (x)-\phi (0)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^{x}f(t)dt}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{2x}=\frac{A}{2}.$$

再看 $x\to 0$ 时 ${\phi }^{\prime }(x)$ 的极限：
$$\underset{x\to 0}{\lim }{\phi }^{\prime }(x)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}-\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^{x}f(t)dt}{x^2}=A-\frac{A}{2}=\frac{A}{2}={\phi }^{\prime }(0).$$
故 ${\phi }^{\prime }(x)$ 在 $x=0$ 处连续。