1997 年考研数学（二） 第 21 题

「讨论根的个数」标准化为 $f(x)=k$ 看水平线与曲线交点。先用 $f^{\prime }$ 找单调性：本题 $f$ 先减后增呈单谷形，谷底 $y_0<0$ 是唯一最小值，两端点值都为 $0$ 但开区间取不到。于是值域 $[y_0,0)$ 把 $k$ 分成三档：低于谷底或非负 → 无交点；恰在谷底 → 一个；谷底与 $0$ 之间 → 左右各一共两个。画出这条 U 形曲线，答案一目了然。

本题考查用单调性与介值定理讨论方程根的个数。 把方程化为 $f(x)=k$，研究 $f(x)=x-\frac{\pi }{2}\sin x$ 在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上的单调性与值域。

$f(x)=x-\frac{\pi }{2}\sin x$ 在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 连续。$f^{\prime }(x)=1-\frac{\pi }{2}\cos x=0$ 在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 内有唯一驻点 $x_0=\arccos \frac{2}{\pi }$。

当 $x\in (0,x_0)$ 时 $\cos x>\frac{2}{\pi }$，$f^{\prime }(x)<0$；当 $x\in \left(x_0,\frac{\pi }{2}\right)$ 时 $f^{\prime }(x)>0$。故 $f$ 在 $[0,x_0]$ 上单调减、在 $\left[x_0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上单调增，$x_0$ 为唯一最小值点，最小值 $y_0=f(x_0)=x_0-\frac{\pi }{2}\sin x_0<0$。

又 $f(0)=0$，$f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{2}=0$，故在开区间 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 内 $f(x)$ 的取值范围是 $[y_0,0)$。

据此讨论 $f(x)=k$ 的根：
（1）当 $k<y_0$ 或 $k\ge 0$（即 $k\notin [y_0,0)$）时，方程无根；
（2）当 $k=y_0$ 时，仅在 $x_0$ 处取到，恰有一根；
（3）当 $y_0<k<0$ 时，由单调性与介值定理，在 $(0,x_0)$ 与 $\left(x_0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上各有一根，恰有两个不同的根。