1997 年考研数学（二） 第 2 题

对数式求高阶导，第一步永远是「先用 $\ln$ 的运算法则把乘除、根号、幂拆成加减」，这样每项都变成简单初等函数，求导不易出错。本题只在 $x=0$ 取值，故求出 $y^{\prime \prime }$ 的一般式后代入即可。

本题考查复合函数的高阶导数。 先用对数运算把根号与商拆开，化简后再逐阶求导。

$y=\ln \sqrt{\frac{1-x}{1+x^2}}=\frac{1}{2}[\ln (1-x)-\ln (1+x^2)]$，故
$$y^{\prime }=\frac{1}{2}\left(\frac{-1}{1-x}-\frac{2x}{1+x^2}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{2x}{1+x^2}\right).$$

再求一次导：
$$y^{\prime \prime }=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{(x-1{)}^2}-\frac{2(1+x^2)-2x\cdot 2x}{(1+x^2{)}^2}\right]=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{(x-1{)}^2}-\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2{)}^2}\right].$$

代入 $x=0$：$y^{\prime \prime }{|}_{x=0}=\frac{1}{2}[-1-2]=-\frac{3}{2}$。