1997 年考研数学（二） 第 1 题

看到「幂指函数在一点的极限」且底数趋于 1、指数趋于无穷，立刻判定为 $1^{\infty }$ 型，标准动作是取对数或凑 $e$。本题指数 $\frac{1}{x^2}\to +\infty$、底 $\cos x\to 1$，写成 $e^{(\cos x-1)/x^2}$ 后用 $\cos x-1\sim -\frac{x^2}{2}$ 一步得指数极限 $-\frac{1}{2}$。连续性只提供了「极限值 = 函数值 $a$」这一等式。

本题考查函数在一点连续的定义与 $1^{\infty }$ 型极限的计算。 要使 $f(x)$ 在 $x=0$ 连续，须有 ${\lim }_{x\to 0}f(x)=f(0)=a$。

当 $x\ne 0$ 时 $f(x)=(\cos x{)}^{1/x^2}$ 是 $1^{\infty }$ 型。利用 ${\lim }_{u\to 0}(1+u{)}^{1/u}=e$：
$$\underset{x\to 0}{\lim }(\cos x{)}^{\frac{1}{x^2}}=\underset{x\to 0}{\lim }[1+(\cos x-1){]}^{\frac{1}{\cos x-1}\cdot \frac{\cos x-1}{x^2}}=e^{{\lim }_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x^2}}.$$

由 $\cos x-1\sim -\frac{x^2}{2}(x\to 0)$ 得 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x^2}=-\frac{1}{2}$，故 ${\lim }_{x\to 0}f(x)=e^{-1/2}$。由连续性得 $a=e^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e}}$。