1996 年考研数学（二） 第 8 题

「$f$ 与 $f^{\prime }$ 的无穷远行为」这类命题，先用一次/二次多项式当反例快速排除三项，往往一两个函数就够。留下的正确项用拉格朗日中值定理证明：一旦 $f^{\prime }$ 在远处大于某正数，$f(x)-f(X_0)=f^{\prime }(c)(x-X_0)$ 就会被线性地拉到 $+\infty$。

本题考查函数与其导数在无穷远处极限的关系，可用反例排除并用拉格朗日中值定理证明正确项。

排除法：取 $f(x)=x$，则 $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$、$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$，但 $f^{\prime }(x)\equiv 1$，故 (A)(C) 均不成立；取 $f(x)=x^2$，则 $\underset{x\to -\infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }2x=-\infty$，但 $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty$，故 (B) 不成立。

证明 (D)：因 $\underset{x\to +\infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)=+\infty$，存在 $X_0>0$，当 $x>X_0$ 时 $f^{\prime }(x)>1$。由拉格朗日中值定理，当 $x>X_0$ 时
$$f(x)-f(X_0)=f^{\prime }(c)(x-X_0),X_0<c<x,$$
故 $f(x)>f(X_0)+(x-X_0)$。令 $x\to +\infty$ 得 $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$。故应选 D。