1996 年考研数学（二） 第 9 题

判断实根个数的黄金组合是「零点定理（存在性）＋单调性（唯一性）＋奇偶/周期对称性（推广到全轴）」。先用偶函数把问题减半，再用 $x\ge 1$ 的粗估计把零点困在 $(0,1)$，最后用 $f^{\prime }>0$ 锁定唯一性；注意别忘了检验 $x=0$ 本身是否为根。

本题考查用零点定理与单调性判断方程实根个数。 令 $f(x)=|x{|}^{\frac{1}{4}}+|x{|}^{\frac{1}{2}}-\cos x$，它是偶函数，只需研究 $x\ge 0$ 的零点，再由对称性得到 $x<0$ 的零点。

当 $x\ge 1$ 时 $|x{|}^{\frac{1}{4}}\ge 1$，故 $f(x)\ge 1+1-\cos x>0$，无零点；因此只需看 $(0,1)$。又 $f(0)=0+0-1=-1<0$，$f(1)=2-\cos 1>0$，由零点定理，$f$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个零点。

在 $(0,1)$ 上 $|x|=x$，$f^{\prime }(x)=\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}+\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}+\sin x>0$，故 $f$ 严格单调递增，$(0,1)$ 内恰有一个零点。由偶函数对称性，$(-1,0)$ 内也恰有一个零点；而 $x=0$ 处 $f(0)=-1\ne 0$。故方程在 $(-\infty ,+\infty )$ 内有且仅有两个实根，选 C。