1996 年考研数学（二） 第 10 题

绕平行于 $x$ 轴的直线旋转，一律用垫圈法并把半径写成「轴的纵坐标 $-$ 曲线纵坐标」。关键的化简技巧是对 $(m-g{)}^2-(m-f{)}^2$ 用平方差公式，避免展开出错——差因子给出 $f-g$、和因子给出 $2m-f-g$，正好对上选项 B。

本题考查绕水平直线 $y=m$ 旋转的旋转体体积（垫圈法）。 在 $[x,x+dx]$ 上，绕 $y=m$ 旋转得一个圆环（垫圈）。

由于 $g(x)<f(x)<m$，到旋转轴 $y=m$ 的距离：外圆半径为 $m-g(x)$（较远的 $y=g(x)$），内圆半径为 $m-f(x)$（较近的 $y=f(x)$）。故体积微元
$$dV=\pi \left\{\right[m-g(x){]}^2-[m-f(x){]}^2\}dx.$$

用平方差公式化简：
$$[m-g{]}^2-[m-f{]}^2=[(m-g)-(m-f)][(m-g)+(m-f)]=[f-g][2m-f-g].$$
因此
$$V={\int }_a^b\pi [2m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x)]dx,$$
应选 B。