1996 年考研数学（二） 第 11 题

被积函数含 $\sqrt{1-e^{-2x}}$，直接令整个根号为 $t$ 是最省事的代换：既去掉根号，又把 $dx$ 转成有理式 $\frac{t}{1-t^2}dt$。化简末项时用 $\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=(2-\sqrt{3}{)}^2$ 把对数里的分式变成完全平方，$\ln$ 前的 $\frac{1}{2}$ 正好抵消平方，答案干净。

本题考查定积分的换元计算。 根号内含 $e^{-2x}$，作根式代换去掉根号。

令 $t=\sqrt{1-e^{-2x}}$，则 $t^2=1-e^{-2x}$，解得 $x=-\frac{1}{2}\ln (1-t^2)$，$dx=\frac{t}{1-t^2}dt$。换限：$x=0$ 时 $t=0$；$x=\ln 2$ 时 $e^{-2x}=\frac{1}{4}$，$t=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

于是（注意被积式 $\sqrt{1-e^{-2x}}=t$）
$${\int }_0^{\ln 2}\sqrt{1-e^{-2x}}dx={\int }_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}}t\cdot \frac{t}{1-t^2}dt={\int }_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\frac{t^2}{1-t^2}dt={\int }_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(-1+\frac{1}{1-t^2}\right)dt.$$

因 $\int \frac{dt}{1-t^2}=-\frac{1}{2}\ln \frac{1-t}{1+t}$，故
$$={\left[-t-\frac{1}{2}\ln \frac{1-t}{1+t}\right]}_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\ln \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}.$$
又 $\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=(2-\sqrt{3}{)}^2$，故 $-\frac{1}{2}\ln (2-\sqrt{3}{)}^2=-\ln (2-\sqrt{3})=\ln (2+\sqrt{3})$。因此
$${\int }_0^{\ln 2}\sqrt{1-e^{-2x}}dx=\ln (2+\sqrt{3})-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$