1996 年考研数学（二） 第 12 题

遇到 $\frac{1}{1\pm \sin x}$ 或 $\frac{1}{1\pm \cos x}$，首选「有理化」——乘以共轭因子把分母变成 ${\cos }^2$ 或 ${\sin }^2$，再拆成 ${\sec }^2/{\csc }^2$ 加一个凑微分项即可。比万能代换 $t=\tan \frac{x}{2}$ 更快，也不必回代。

本题考查三角有理式的不定积分。 用「分子分母同乘 $1-\sin x$」把分母化为 ${\cos }^{2}x$。

$$\int \frac{dx}{1+\sin x}=\int \frac{1-\sin x}{(1+\sin x)(1-\sin x)}dx=\int \frac{1-\sin x}{1-{\sin }^{2}x}dx=\int \frac{1-\sin x}{{\cos }^{2}x}dx.$$

拆开：
$$=\int \left({\sec }^{2}x-\frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}\right)dx=\tan x-\frac{1}{\cos x}+C,$$
其中 $\int \frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}dx=\int -\frac{d(\cos x)}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{\cos x}$。

（也可用半角代换 $t=\tan \frac{x}{2}$，或写成 $1+\sin x=2{\cos }^2(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4})$，得等价结果 $\tan (\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4})+C$。）