1996 年考研数学（二） 第 13 题

参数方程求二阶导，牢记 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}$——分母仍是 $dx/dt$ 而不是它的平方或其它。本题的两个「细节陷阱」：$x$ 是变限积分故 $dx/dt=f(t^2)$ 恰好约掉 $dy/dt$ 里的 $f(t^2)$；对 $f^{\prime }(t^2)$ 再求导时必须补上内层 $2t$，才得到 $8t^2{f}^{\prime \prime }$ 这一项。

本题考查由参数方程确定的函数的二阶导数，其中 $x$ 由变限积分给出。 先分别求 $\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}$。

由变限积分求导，$\frac{dx}{dt}=f(t^2)$。对 $y=[f(t^2){]}^2$ 求导（链式法则）：
$$\frac{dy}{dt}=2f(t^2)\cdot f^{\prime }(t^2)\cdot 2t=4tf(t^2)f^{\prime }(t^2).$$

故一阶导数
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{4tf(t^2)f^{\prime }(t^2)}{f(t^2)}=4t{f}^{\prime }(t^2).$$

再对 $t$ 求导并除以 $\frac{dx}{dt}$：
$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{\frac{d}{dt}[4t{f}^{\prime }(t^2)]}{dx/dt}=\frac{4f^{\prime }(t^2)+4t\cdot f^{\prime \prime }(t^2)\cdot 2t}{f(t^2)}=\frac{4f^{\prime }(t^2)+8t^2{f}^{\prime \prime }(t^2)}{f(t^2)}.$$