1996 年考研数学（二） 第 14 题

有理分式的泰勒展开，先用多项式除法或拆项把它降为「常数 + $\frac{c}{1+x}$」这种可套用几何级数的标准件。$\frac{1}{1+x}=\sum (-1{)}^k{x}^k$ 的系数与余项都是现成的，只需线性组合。拉格朗日余项统一写成 $\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}{x}^{n+1}$，$0<\theta <1$。

本题考查带拉格朗日型余项的泰勒（麦克劳林）展开。 先把 $f$ 化成与 $\frac{1}{1+x}$ 有关的形式。

$$f(x)=\frac{1-x}{1+x}=\frac{-(1+x)+2}{1+x}=-1+\frac{2}{1+x}.$$
对 $g(x)=\frac{1}{1+x}$，其 $k$ 阶导数为 $g^{(k)}(x)=\frac{(-1{)}^{k}k!}{(1+x{)}^{k+1}}$，故它的 $n$ 阶麦克劳林展开带拉格朗日余项为
$$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots +(-1{)}^n{x}^n+\frac{(-1{)}^{n+1}{x}^{n+1}}{(1+\theta x{)}^{n+2}},0<\theta <1.$$

因此
$$f(x)=-1+2\left[1-x+x^2-\cdots +(-1{)}^n{x}^n+\frac{(-1{)}^{n+1}{x}^{n+1}}{(1+\theta x{)}^{n+2}}\right]$$
$$=1-2x+2x^2-\cdots +(-1{)}^{n}2x^n+\frac{(-1{)}^{n+1}2}{(1+\theta x{)}^{n+2}}{x}^{n+1}(0<\theta <1).$$