1996 年考研数学（二） 第 15 题

常系数非齐次方程，特解形式由自由项决定，但要看它是否与特征根「共振」。这里 $\lambda =0$ 是单根，而多项式自由项对应的正是 $e^{0\cdot x}$ 型，故特解要在二次多项式上再乘一个 $x$，否则常数项无法匹配。设好后代入比较系数即可。

本题考查二阶常系数非齐次线性方程的通解。 通解 = 齐次通解 + 一个特解。

特征方程 ${\lambda }^2+\lambda =0$，解得 ${\lambda }_1=0,{\lambda }_2=-1$，故齐次方程 $y^{\prime \prime }+y^{\prime }=0$ 的通解为 $y=C_1+C_2{e}^{-x}$。

自由项 $x^2$ 是二次多项式，但因 $\lambda =0$ 是特征根，特解需乘一个 $x$，故设 $y_0=x(a{x}^2+bx+c)=a{x}^3+b{x}^2+cx$。代入：$y_0^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$，$y_0^{\prime \prime }=6ax+2b$，
$$y_0^{\prime \prime }+y_0^{\prime }=3a{x}^2+(6a+2b)x+(2b+c)=x^2.$$
比较系数：$3a=1,6a+2b=0,2b+c=0$，得 $a=\frac{1}{3},b=-1,c=2$，即 $y_0=\frac{x^3}{3}-x^2+2x$。

故原方程通解为
$$y=C_1+C_2{e}^{-x}+\frac{x^3}{3}-x^2+2x(C_1,C_2\text{ 为任意常数}).$$