1996 年考研数学（二） 第 16 题

「已知平行截面面积求体积」的核心是选对切片方向，使每个截面形状简单。这里沿短轴 $y$ 切，截面恒为直角三角形，两条直角边分别是椭圆横宽 $x$ 和它乘 $\tan \alpha$ 的斜高，面积随 $b^2-y^2$ 变化。由对称性 ${\int }_{-b}^b=2{\int }_0^b$，积分 ${\int }_0^b(b^2-y^2)dy=\frac{2}{3}{b}^3$ 一步到位。

本题考查用「已知平行截面面积求体积」的方法。 建立坐标系，底面椭圆为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，短轴沿 $y$ 轴（即截面绕之倾斜的轴），长轴沿 $x$ 轴。

用垂直于 $y$ 轴的平面去截楔形体。对固定的 $y\in [-b,b]$，该截面是一个直角三角形：底边长为椭圆在该处的横向宽度 $x=\frac{a}{b}\sqrt{b^2-y^2}$（由椭圆方程解出），高为 $x\tan \alpha$（斜面与底面成 $\alpha$ 角）。故截面面积
$$A(y)=\frac{1}{2}\cdot x\cdot x\tan \alpha =\frac{1}{2}{\left(\frac{a}{b}\sqrt{b^2-y^2}\right)}^2\tan \alpha =\frac{a^2}{2b^2}\tan \alpha (b^2-y^2).$$

于是体积
$$V={\int }_{-b}^{b}A(y)dy=\frac{a^2}{2b^2}\tan \alpha {\int }_{-b}^b(b^2-y^2)dy=\frac{a^2}{b^2}\tan \alpha {\int }_0^b(b^2-y^2)dy.$$
又 ${\int }_0^b(b^2-y^2)dy=b^3-\frac{b^3}{3}=\frac{2b^3}{3}$，故
$$V=\frac{a^2}{b^2}\tan \alpha \cdot \frac{2b^3}{3}=\frac{2a^{2}b}{3}\tan \alpha .$$