1996 年考研数学（二） 第 17 题

被积函数是「反三角 × 有理式」，主线是分部积分把 $\arctan x$ 求导掉。先用部分分式 $\frac{1}{x^2(1+x^2)}=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{1+x^2}$ 拆开，两段各有巧法：一段直接凑成 $\arctan xd(\arctan x)$，另一段分部积分后落到 $\int \frac{dx}{x(1+x^2)}$，再对 $x^2$ 部分分式即得对数。

本题考查分部积分与有理函数积分。 先用 $\frac{1}{x^2(1+x^2)}=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{1+x^2}$ 把积分拆成两部分。

$$\int \frac{\arctan x}{x^2(1+x^2)}dx=\int \frac{\arctan x}{x^2}dx-\int \frac{\arctan x}{1+x^2}dx.$$

第二个积分：注意 $d(\arctan x)=\frac{dx}{1+x^2}$，故 $\int \frac{\arctan x}{1+x^2}dx=\int \arctan xd(\arctan x)=\frac{1}{2}(\arctan x{)}^2$。

第一个积分用分部积分，取 $d\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{dx}{x^2}$：
$$\int \frac{\arctan x}{x^2}dx=-\int \arctan xd\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{\arctan x}{x}+\int \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{1+x^2}dx.$$
而 $\int \frac{dx}{x(1+x^2)}=\frac{1}{2}\int \frac{d(x^2)}{x^2(1+x^2)}=\frac{1}{2}\ln \frac{x^2}{1+x^2}$（对 $x^2$ 部分分式）。

合并：
$$\int \frac{\arctan x}{x^2(1+x^2)}dx=-\frac{\arctan x}{x}+\frac{1}{2}\ln \frac{x^2}{1+x^2}-\frac{1}{2}(\arctan x{)}^2+C.$$