1996 年考研数学（二） 第 18 题

求分段函数的反函数，逐段「解出 $x$ + 换算值域」是机械操作，易错点在开方取号（原段 $x$ 的正负决定）和分段点的衔接。判连续/可导只需盯着分段点做单侧比较；额外要警惕 $\sqrt[3]{x}$ 这类幂次小于 $1$ 的函数在 $x=0$ 处虽连续却因竖直切线而不可导——这是本题最隐蔽的一个不可导点。

本题考查分段函数的反函数及其连续性、可导性的判定。 先分段反解 $x$，注意各段值域的对接。

(1) 当 $x<-1$ 时 $y<-1$，由 $y=1-2x^2$（此段 $x<0$）解得 $x=-\sqrt{\frac{1-y}{2}}$；当 $-1\le x\le 2$ 时 $-1\le y\le 8$，由 $y=x^3$ 得 $x=\sqrt[3]{y}$；当 $x>2$ 时 $y>8$，由 $y=12x-16$ 得 $x=\frac{y+16}{12}$。把自变量记回 $x$，得反函数
$$g(x)=\{\begin{array}{ll}-\sqrt{\frac{1-x}{2}},& x<-1,\\ \sqrt[3]{x},& -1\le x\le 8,\\ \frac{x+16}{12},& x>8.\end{array}$$

(2) 连续性： 在分段点 $x=-1$，$g(-1-0)=-\sqrt{\frac{1-(-1)}{2}}=-1$，$g(-1)=\sqrt[3]{-1}=-1$，$g(-1+0)=-1$，三者相等；在 $x=8$，$g(8-0)=\sqrt[3]{8}=2$，$g(8)=2$，$g(8+0)=\frac{8+16}{12}=2$，三者相等。故 $g(x)$ 没有间断点。

可导性： 在 $x=-1$，
$$g_{-}^{\prime }(-1)=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{-\sqrt{\frac{1-x}{2}}+1}{x+1}=\frac{1}{4},g_{+}^{\prime }(-1)=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{\sqrt[3]{x}+1}{x+1}=\frac{1}{3},$$
左右导数不等，故 $x=-1$ 是不可导点。又 $\sqrt[3]{x}$ 在 $x=0$ 处切线竖直（$g^{\prime }(0)$ 为 $+\infty$），故 $x=0$ 也是不可导点。

在 $x=8$，$g_{-}^{\prime }(8)=\underset{x\to 8^{-}}{\lim }\frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}=\frac{1}{12}$，$g_{+}^{\prime }(8)=\underset{x\to 8^{+}}{\lim }\frac{\frac{x+16}{12}-2}{x-8}=\frac{1}{12}$，左右导数相等，$g$ 在 $x=8$ 可导。综上，$g(x)$ 的不可导点为 $x=-1$ 与 $x=0$。