1996 年考研数学（二） 第 19 题

隐函数求极值走「一阶导定驻点、二阶导判类型」。令 $y^{\prime }=0$ 常常让含 $y^{\prime }$ 的项全消失，留下简单关系（此处 $y=x$），再回代原方程求具体驻点——注意验证多余根（$2x^2+x+1$ 无实根）。二阶导不必解出 $y^{\prime \prime }$ 的一般式，只要在驻点处代入 $y^{\prime }=0$，方程立刻简化成一元一次，直接读出 $y^{\prime \prime }$ 的符号。

本题考查隐函数求导与极值的第二充分条件。 先对方程两边关于 $x$ 求导求驻点。

方程 $2y^3-2y^2+2xy-x^2=1$ 两边对 $x$ 求导：
$$6y^2{y}^{\prime }-4y{y}^{\prime }+2y+2x{y}^{\prime }-2x=0.(\ast )$$
令 $y^{\prime }=0$，$(\ast )$ 化为 $2y-2x=0$，即 $y=x$。代入原方程：$2x^3-2x^2+2x^2-x^2=1$，即 $2x^3-x^2=1$，因式分解 $(x-1)(2x^2+x+1)=0$，其中 $2x^2+x+1$ 判别式 $1-8<0$ 无实根，故唯一驻点 $x=1$（此时 $y=1$）。

将 $(\ast )$ 再对 $x$ 求导：
$$12y{y}^{\prime 2}+6y^2{y}^{\prime \prime }-4y^{\prime 2}-4y{y}^{\prime \prime }+2y^{\prime }+2y^{\prime }+2x{y}^{\prime \prime }-2=0.$$
代入驻点处 $x=1,y=1,y^{\prime }=0$：$6y^{\prime \prime }-4y^{\prime \prime }+2y^{\prime \prime }-2=0$，即 $4y^{\prime \prime }=2$，$y^{\prime \prime }(1)=\frac{1}{2}>0$。

由极值第二充分条件，$y^{\prime \prime }(1)>0$，故 $x=1$ 是极小值点，极小值为 $y(1)=1$。