1996 年考研数学（二） 第 20 题

端点函数值为零、又给了导数符号，第一步一定是用导数定义 + 保号性，把 $f^{\prime }(a)>0$ 翻译成「$a$ 右邻域里 $f>0$」、$f^{\prime }(b)>0$ 翻译成「$b$ 左邻域里 $f<0$」，从而在内部造出一个新零点 $\xi$。有了 $a,\xi ,b$ 三个零点，二阶结论就是罗尔定理的「阶梯」用法：先得 $f^{\prime }$ 的两个零点，再得 $f^{\prime \prime }$ 的一个零点。

本题考查用导数定义、零点定理与罗尔定理证明零点的存在性。 由 $f^{\prime }(a)f^{\prime }(b)>0$，不妨设 $f^{\prime }(a)>0,f^{\prime }(b)>0$（$<0$ 情形完全类似）。

先证存在 $\xi$ 使 $f(\xi )=0$。 因 $f(a)=0$，$f^{\prime }(a)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{x-a}>0$，由极限保号性，存在 $\delta >0$，当 $x\in (a,a+\delta )$ 时 $\frac{f(x)}{x-a}>0$，即 $f(x)>0$。取 $c_1\in (a,a+\delta )$，则 $f(c_1)>0$。

同理，因 $f(b)=0$，$f^{\prime }(b)=\underset{x\to b^{-}}{\lim }\frac{f(x)}{x-b}>0$，存在 $x\in (b-\delta ,b)$ 时 $\frac{f(x)}{x-b}>0$；因 $x-b<0$，故 $f(x)<0$。取 $c_2\in (b-\delta ,b)$，则 $f(c_2)<0$。

于是 $f(c_1)>0,f(c_2)<0$，$f$ 在 $[c_1,c_2]$ 上连续，由零点定理存在 $\xi \in (c_1,c_2)\subset (a,b)$ 使 $f(\xi )=0$。

再证存在 $\eta$ 使 $f^{\prime \prime }(\eta )=0$。 现有 $f(a)=f(\xi )=f(b)=0$（且 $a<\xi <b$）。在 $[a,\xi ]$、$[\xi ,b]$ 上分别用罗尔定理：存在 ${\eta }_1\in (a,\xi ),{\eta }_2\in (\xi ,b)$ 使 $f^{\prime }({\eta }_1)=f^{\prime }({\eta }_2)=0$。再在 $[{\eta }_1,{\eta }_2]$ 上对 $f^{\prime }$ 用罗尔定理，存在 $\eta \in ({\eta }_1,{\eta }_2)\subset (a,b)$ 使 $f^{\prime \prime }(\eta )=0$。证毕。