1996 年考研数学（二） 第 21 题

第 (1) 问是标准一阶线性方程，直接套积分因子公式并用初值定常数，注意积分下限取 $0$ 可让 $y(0)=0$ 自动成立。第 (2) 问是「解的先验估计」：把绝对值搬进积分、用 $|f|\le k$ 换成常数，再算一个初等积分即可——这类不等式几乎都靠「$|\int |\le \int |\cdot |$」加被积函数放大来完成。

本题考查一阶线性微分方程的求解及积分不等式的估计。

(1) 方程 $y^{\prime }+ay=f(x)$ 是一阶线性方程，积分因子为 $e^{\int adx}=e^{ax}$。由通解公式
$$y=e^{-ax}\left[{\int }_0^{x}f(t)e^{at}dt+C\right]=C{e}^{-ax}+e^{-ax}{\int }_0^{x}f(t)e^{at}dt.$$
代入初值 $y(0)=0$ 得 $C=0$，故
$$y(x)=e^{-ax}{\int }_0^{x}f(t)e^{at}dt.$$

(2) 当 $x\ge 0$ 时，$e^{-ax}>0$，对上式取绝对值并用 $|f(t)|\le k$ 估计：
$$|y(x)|\le e^{-ax}{\int }_0^x|f(t)|e^{at}dt\le e^{-ax}{\int }_0^{x}k{e}^{at}dt=e^{-ax}\cdot \frac{k}{a}\left(e^{ax}-1\right).$$

即
$$|y(x)|\le \frac{k}{a}\left(1-e^{-ax}\right),x\ge 0.$$
证毕。