1996 年考研数学（二） 第 7 题

凡是给出 $|f(x)|\le$（某个高阶无穷小）这类夹逼型条件，都先取 $x=0$ 定出函数值，再把同一个不等式两边除以 $|x|$ 转成差商的估计。这里 $|f(x)|\le x^2$ 除以 $|x|$ 得 $\le |x|$，差商被夹到 $0$，故导数存在且为 $0$——不需要 $f$ 的具体表达式。

本题考查用夹逼准则由不等式判断连续性与可导性。 先由不等式定出 $f(0)$。

在 $|f(x)|\le x^2$ 中令 $x=0$ 得 $|f(0)|\le 0$，故 $f(0)=0$。又 $0\le |f(x)|\le x^2\to 0$，由夹逼准则 $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0=f(0)$，即 $f$ 在 $x=0$ 处连续。

再看导数定义：$0\le \left|\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\right|=\frac{|f(x)|}{|x|}\le |x|\to 0$，由夹逼准则
$$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=0.$$
故 $x=0$ 是可导点且 $f^{\prime }(0)=0$，应选 C。