乐思数学通 › 考研数学（二） › 真题检索 › 1996 年

1996 年考研数学（二）第 6 题

选择题 · 3 分

设当

x \to 0

时，

e^{x} - (a x^{2} + b x + 1)

是比

x^{2}

高阶的无穷小，则（　　）

A $a = \frac{1}{2}, b = 1$
B $a = 1, b = 1$
C $a = - \frac{1}{2}, b = - 1$
D $a = - 1, b = 1$

提示 1

「比

x^{2}

高阶」意味着除以

x^{2}

后极限为

0

，即

x^{0}, x^{1}, x^{2}

各项系数都要消掉。

提示 2

把

e^{x}

展开到

x^{2}

：

1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2})

。

提示 3

令

x

的系数

1 - b = 0

、

x^{2}

的系数

\frac{1}{2} - a = 0

。

答案与详解

答案 A

思路（为什么这么做）

「

\dots

是比

x^{n}

高阶的无穷小」等价于「用泰勒展开后，直到

x^{n}

为止的所有系数全为零」。本题把

e^{x}

展开到二阶，逐项令

1 - b

与

\frac{1}{2} - a

归零，一步定出

a, b

。这比反复洛必达更直接，也不易出错。

解答

本题考查无穷小的阶与泰勒展开。 用

e^{x}

的麦克劳林展开比较到

x^{2}

项。

由

e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2})

，得

e^{x} - (a x^{2} + b x + 1) = (1 - b) x + (\frac{1}{2} - a) x^{2} + o (x^{2}) .

要使它是比

x^{2}

高阶的无穷小，必须让

x

与

x^{2}

的系数都为零：

1 - b = 0, \frac{1}{2} - a = 0,

即

b = 1, a = \frac{1}{2}

。故应选 A。

（另法：由

x \to 0 lim \frac{e ^{x} - ( a x ^{2} + b x + 1 )}{x ^{2}} = 0

，两次用洛必达法则可依次定出

b = 1

、

a = \frac{1}{2}

。）

考点：无穷小与无穷大、阶的比较、泰勒公式

← 1996 年全部题目