1996 年考研数学（二） 第 5 题

求面积先画草图、定边界与交点。$x+\frac{1}{x}$ 在 $x=1$ 处取最小值 $2$ 恰好与直线 $y=2$ 相切相交，故左端点是 $x=1$，右端点由 $x=2$ 给出。上减下积分即可；$\frac{1}{x}$ 的原函数是 $\ln x$，这是本题唯一需要留意的非多项式项。

本题考查定积分求平面图形面积。 先确定曲线 $y=x+\frac{1}{x}$ 与直线 $y=2$ 的交点，再定出积分区间。

由 $x+\frac{1}{x}=2$ 得 $x^2-2x+1=0$，即 $x=1$。在 $1\le x\le 2$ 上有 $x+\frac{1}{x}\ge 2$（因为 $x+\frac{1}{x}-2=\frac{(x-1{)}^2}{x}\ge 0$），故曲线在直线 $y=2$ 上方，图形由 $x=1$ 到 $x=2$ 之间、上边界 $y=x+\frac{1}{x}$ 与下边界 $y=2$ 围成。

于是
$$S={\int }_1^2\left(x+\frac{1}{x}-2\right)dx={\left[\frac{x^2}{2}+\ln x-2x\right]}_1^2=\left(2+\ln 2-4\right)-\left(\frac{1}{2}+0-2\right)=\ln 2-\frac{1}{2}.$$