1996 年考研数学（二） 第 4 题

看到「两个同名函数在相近点的差」乘以放大因子 $x$，标准套路是用拉格朗日中值定理把差写成「导数值 × 自变量差」。这里 $\sin$ 的导数 $\cos \xi$ 在 $\xi \to 0$ 时趋于 $1$，剩下的对数差再用等价无穷小 $\ln (1+kt)\sim kt$ 立刻得到 $3t-t=2t$，与前面的 $x=1/t$ 相乘约去，极限为 $2$。

本题考查极限的计算，可用拉格朗日中值定理配合等价无穷小。 把两个正弦之差用中值定理转化为差。

令 $f(t)=\sin t$，$f^{\prime }(t)=\cos t$。由拉格朗日中值定理，
$$\sin \ln \left(1+\frac{3}{x}\right)-\sin \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)=\cos \xi \cdot \left[\ln \left(1+\frac{3}{x}\right)-\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right],$$
其中 $\xi$ 介于 $\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$ 与 $\ln \left(1+\frac{3}{x}\right)$ 之间。当 $x\to \infty$ 时二者都趋于 $0$，故 $\xi \to 0$，$\cos \xi \to 1$。

于是原式
$$=\underset{x\to \infty }{\lim }\cos \xi \cdot \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\ln \left(1+\frac{3}{x}\right)-\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}{1/x}.$$
令 $t=\frac{1}{x}\to 0$：
$$=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+3t)-\ln (1+t)}{t}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{3t-t}{t}=2,$$
这里用了等价无穷小 $\ln (1+3t)\sim 3t,\ln (1+t)\sim t$。故极限为 $2$。