1996 年考研数学（二） 第 3 题

二阶常系数齐次方程一律走「特征方程—判别根的类型—套通解公式」三步。此题判别式为负，得共轭复根 $-1\pm 2i$，实部 $-1$ 进入指数因子 $e^{-x}$、虚部 $2$ 进入三角函数的频率，直接套出带 $\cos 2x,\sin 2x$ 的振荡衰减解。

本题考查二阶常系数齐次线性微分方程的通解。 写出特征方程并求根。

特征方程为 ${\lambda }^2+2\lambda +5=0$，判别式 $4-20=-16<0$，特征根为一对共轭复根
$${\lambda }_{1,2}=\frac{-2\pm \sqrt{-16}}{2}=-1\pm 2i.$$

对共轭复根 $\alpha \pm \beta i$（此处 $\alpha =-1,\beta =2$），通解为
$$y=e^{\alpha x}\left(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x\right)=e^{-x}\left(C_1\cos 2x+C_2\sin 2x\right),$$
其中 $C_1,C_2$ 为任意常数。