1996 年考研数学（二） 第 2 题

遇到对称区间 $[-a,a]$ 上的积分，第一反应是拆成奇、偶部分：奇部分直接归零。本题展开后 $x^2$ 与 $-x^2$ 相消得到常数 $1$，剩下的交叉项 $2x\sqrt{1-x^2}$ 是奇函数，于是整段积分退化成 ${\int }_{-1}^{1}1dx=2$，无需真的去算根号积分。

本题考查定积分的计算，关键是利用奇偶函数在对称区间上的积分性质。 先展开被积函数。

展开：
$${\left(x+\sqrt{1-x^2}\right)}^2=x^2+2x\sqrt{1-x^2}+\left(1-x^2\right)=1+2x\sqrt{1-x^2}.$$

在对称区间 $[-1,1]$ 上，$2x\sqrt{1-x^2}$ 是奇函数，积分为 $0$；于是
$${\int }_{-1}^1{\left(x+\sqrt{1-x^2}\right)}^{2}dx={\int }_{-1}^{1}1dx=2.$$