1996 年考研数学（二） 第 1 题

看到「幂指结构在某点求导数值」，最稳的做法是先写出一般的 $y^{\prime }$ 表达式再代点，而不要先化简。本题内层在 $x=0$ 恰好等于 $1$，使得 $1^{-1/3}=1$ 这一项不产生麻烦，真正起作用的是内层导数在 $0$ 处的值 $\frac{1}{2}$，与外层系数 $\frac{2}{3}$ 相乘即得 $\frac{1}{3}$。

本题考查复合函数的求导法则。 把外层幂函数与内层 $x+e^{-x/2}$ 分别求导相乘即可。

由链式法则
$$y^{\prime }=\frac{2}{3}{\left(x+e^{-\frac{x}{2}}\right)}^{-\frac{1}{3}}\cdot \left(1-\frac{1}{2}{e}^{-\frac{x}{2}}\right).$$

代入 $x=0$：内层 $x+e^{-x/2}{|}_{x=0}=0+1=1$，$\left(1-\frac{1}{2}{e}^{-x/2}\right){|}_{x=0}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，故
$$y^{\prime }{|}_{x=0}=\frac{2}{3}\cdot 1^{-\frac{1}{3}}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{3}.$$