1995 年考研数学（二） 第 9 题

看到「$f(1)-f(0)$ 与端点导数比大小」，立刻想到拉格朗日中值定理把差商变成中间某点的导数 $f^{\prime }(c)$。再用 $f^{\prime \prime }>0\Rightarrow f^{\prime }$ 递增，把 $f^{\prime }(0)<f^{\prime }(c)<f^{\prime }(1)$ 排好序。几何直观：凹（下凸）曲线的割线斜率介于两端切线斜率之间。

本题考查拉格朗日中值定理与二阶导数（凹凸性）对导数单调性的作用。

由拉格朗日中值定理，存在 $c\in (0,1)$ 使
$$f(1)-f(0)=f^{\prime }(c).$$

因 $f^{\prime \prime }(x)>0$，故 $f^{\prime }(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增。又 $0<c<1$，从而
$$f^{\prime }(0)<f^{\prime }(c)<f^{\prime }(1),$$
即 $f^{\prime }(0)<f(1)-f(0)<f^{\prime }(1)$。

整理得 $f^{\prime }(1)>f(1)-f(0)>f^{\prime }(0)$，故应选 B。