1995 年考研数学（二） 第 10 题

带绝对值 $|\sin x|$ 且问「某点可导」，标准动作是分左右极限算 $F_{\pm }^{\prime }(0)$。$|\sin x|$ 在 $0$ 左右分别等于 $\mp \sin x$，导致 $F_{-}^{\prime }(0)=f^{\prime }(0)-f(0)$、$F_{+}^{\prime }(0)=f^{\prime }(0)+f(0)$，二者之差恰是 $2f(0)$。要可导就得让这个差为零，所以约束落在 $f(0)$ 而非 $f^{\prime }(0)$ 上。

本题考查含 $|\sin x|$ 的函数在尖点处的可导性（用左右导数定义）。 关键：$|\sin x|$ 在 $x=0$ 处不可导，左右两侧表达式不同。

当 $x\to 0^{-}$ 时 $\sin x<0$，$|\sin x|=-\sin x$，故
$$F_{-}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x)(1-\sin x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}-\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)\cdot \frac{\sin x}{x}=f^{\prime }(0)-f(0).$$

当 $x\to 0^{+}$ 时 $\sin x>0$，$|\sin x|=\sin x$，故
$$F_{+}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)(1+\sin x)-f(0)}{x}=f^{\prime }(0)+f(0).$$

$F(x)$ 在 $0$ 处可导要求左右导数相等：$f^{\prime }(0)-f(0)=f^{\prime }(0)+f(0)$，即 $2f(0)=0$，$f(0)=0$。应选 A。