1995 年考研数学（二） 第 11 题

根号型无穷小差先有理化，这是把 $1-\sqrt{\cos x}$ 转成熟悉的 $1-\cos x$ 的标准手法。随后全靠一个等价 $1-\cos u\sim \frac{u^2}{2}$：注意分母里是 $\cos \sqrt{x}$，其无穷小是 $\frac{x}{2}$（不是 $\frac{x^2}{2}$），阶数对齐后才能正确约分得 $\frac{1}{2}$。

本题考查等价无穷小替换求极限。 分子先有理化去掉根号，再对分子、分母的无穷小用等价替换。

分子有理化：$1-\sqrt{\cos x}=\frac{1-\cos x}{1+\sqrt{\cos x}}$，故
$$\frac{1-\sqrt{\cos x}}{x(1-\cos \sqrt{x})}=\frac{1}{1+\sqrt{\cos x}}\cdot \frac{1-\cos x}{x(1-\cos \sqrt{x})}.$$

当 $x\to 0^{+}$：$1+\sqrt{\cos x}\to 2$；由 $1-\cos u\sim \frac{u^2}{2}$ 得 $1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$，$1-\cos \sqrt{x}\sim \frac{(\sqrt{x}{)}^2}{2}=\frac{x}{2}$。

代入：
$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{1+\sqrt{\cos x}}\cdot \frac{\frac{x^2}{2}}{x\cdot \frac{x}{2}}=\frac{1}{2}\cdot \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\frac{x^2}{2}}{\frac{x^2}{2}}=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}.$$