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1995 年考研数学（二）第 12 题

解答题 · 5 分

设函数

y = y (x)

由方程

x e^{f (y)} = e^{y}

确定，其中

f

具有二阶导数，且

f^{'} \neq = 1

，求

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}

。

提示 1

对方程两端关于

x

求导，注意

e^{f (y)}

求导要用链式法则乘上

f^{'} (y) y^{'}

。

提示 2

求导后用原方程

x e^{f (y)} = e^{y}

消去指数因子，解出

y^{'} = \frac{1}{x [ 1 - f ^{'} ( y )]}

。

提示 3

对

y^{'}

再求导时，

f^{'} (y)

关于

x

求导得

f^{''} (y) y^{'}

；最后把

y^{'}

回代化简。

答案与详解

答案 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = - \frac{[ 1 - f ^{'} ( y ) ] ^{2} - f ^{''} ( y )}{x ^{2} [ 1 - f ^{'} ( y ) ] ^{3}}$

思路（为什么这么做）

隐函数二阶导的通法：一阶求导解出

y^{'}

，二阶再对

y^{'}

求导并把

y^{'}

回代。本题窍门是求出

y^{'}

后先用原方程

x e^{f (y)} = e^{y}

消掉

e^{f (y)}

，让

y^{'}

表达式变清爽；再对

x [1 - f^{'} (y)]

求导时切记

y

是

x

的函数，

f^{'} (y)

的导数是

f^{''} (y) y^{'}

。

解答

本题考查由方程确定的隐函数求二阶导数。 对方程两端关于

x

求导得

y^{'}

，再对

y^{'}

求导得

y^{''}

。

对

x e^{f (y)} = e^{y}

两端关于

x

求导：

e^{f (y)} + x e^{f (y)} f^{'} (y) y^{'} = e^{y} y^{'} .

利用

x e^{f (y)} = e^{y}

，即

e^{f (y)} = \frac{e ^{y}}{x}

，两端除以

e^{y}

得

\frac{1}{x} + f^{'} (y) y^{'} = y^{'}

，解出

y^{'} = \frac{1}{x [ 1 - f ^{'} ( y )]} .

再对

x

求导。记

u = x [1 - f^{'} (y)]

，则

y^{'} = \frac{1}{u}

，

y^{''} = - \frac{u ^{'}}{u ^{2}}

，其中

u^{'} = [1 - f^{'} (y)] + x (- f^{''} (y) y^{'}) = 1 - f^{'} (y) - x f^{''} (y) y^{'} .

把

y^{'} = \frac{1}{x [ 1 - f ^{'} ( y )]}

代入，

x f^{''} (y) y^{'} = \frac{f ^{''} ( y )}{1 - f ^{'} ( y )}

，故

u^{'} = \frac{[ 1 - f ^{'} ( y ) ] ^{2} - f ^{''} ( y )}{1 - f ^{'} ( y )} .

于是

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = - \frac{u ^{'}}{x ^{2} [ 1 - f ^{'} ( y ) ] ^{2}} = - \frac{[ 1 - f ^{'} ( y ) ] ^{2} - f ^{''} ( y )}{x ^{2} [ 1 - f ^{'} ( y ) ] ^{3}} .

考点：隐函数与参数方程求导、高阶导数

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