1995 年考研数学（二） 第 13 题

抽象复合函数题，核心是「换元还原 $f$」：把已知式右端整体用内层变量 $x^2-1$ 表达，读出 $f$ 的规律。得到 $f(u)=\ln \frac{u+1}{u-1}$ 后，$f[\phi ]=\ln x$ 就是解方程 $\frac{\phi +1}{\phi -1}=x$。最后有理分式积分先做多项式除法拆成 $1+\frac{2}{x-1}$ 再逐项积。

本题考查求函数表达式与不定积分。 先由 $f(x^2-1)$ 定出 $f$ 的表达式，再由 $f[\phi (x)]=\ln x$ 反解 $\phi (x)$，最后积分。

把右端改写成关于 $x^2-1$ 的形式：
$$f(x^2-1)=\ln \frac{x^2}{x^2-2}=\ln \frac{(x^2-1)+1}{(x^2-1)-1},$$
故 $f(u)=\ln \frac{u+1}{u-1}$，即 $f(x)=\ln \frac{x+1}{x-1}$。

由 $f[\phi (x)]=\ln \frac{\phi (x)+1}{\phi (x)-1}=\ln x$，得 $\frac{\phi (x)+1}{\phi (x)-1}=x$。解出
$$\phi (x)=\frac{x+1}{x-1}.$$

于是
$$\int \phi (x)dx=\int \frac{x+1}{x-1}dx=\int (1+\frac{2}{x-1})dx=x+2\ln |x-1|+C.$$