1995 年考研数学（二） 第 14 题

分段函数「讨论 $f^{\prime }$ 连续性」是两步：先分区求 $f^{\prime }$——非分段点套公式、分段点用定义（这里 $f^{\prime }(0)$ 靠 $\arctan \frac{1}{x^2}\to \frac{\pi }{2}$）；再看 ${\lim }_{x\to 0}{f}^{\prime }(x)$ 是否等于 $f^{\prime }(0)$。注意导函数在分段点连续与 $f^{\prime }(0)$ 存在是两回事，本题两者恰好都等于 $\frac{\pi }{2}$，故连续。

本题考查分段函数在分段点的导数（用定义）以及导函数的连续性。 分别求 $x\ne 0$ 处的 $f^{\prime }(x)$ 和 $x=0$ 处的 $f^{\prime }(0)$，再比较 ${\lim }_{x\to 0}{f}^{\prime }(x)$ 与 $f^{\prime }(0)$。

当 $x\ne 0$ 时，由乘积法则与链式法则：
$$f^{\prime }(x)=\arctan \frac{1}{x^2}+x\cdot \frac{1}{1+\frac{1}{x^4}}\cdot (-\frac{2}{x^3})=\arctan \frac{1}{x^2}-\frac{2x^2}{1+x^4}.$$

在 $x=0$ 处必须用定义（分段点不能直接代公式）：
$$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\arctan \frac{1}{x^2}}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\arctan \frac{1}{x^2}=\frac{\pi }{2},$$
（因 $x\to 0$ 时 $\frac{1}{x^2}\to +\infty$）。故
$$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\pi }{2},& x=0,\\ \arctan \frac{1}{x^2}-\frac{2x^2}{1+x^4},& x\ne 0.\end{array}$$

考察 ${\lim }_{x\to 0}{f}^{\prime }(x)={\lim }_{x\to 0}(\arctan \frac{1}{x^2}-\frac{2x^2}{1+x^4})=\frac{\pi }{2}-0=\frac{\pi }{2}=f^{\prime }(0)$，所以 $f^{\prime }(x)$ 在 $x=0$ 处连续。