1995 年考研数学（二） 第 8 题

两个易混点：其一，「严格增」只给 $f^{\prime }\ge 0$（$x^3$ 在 $0$ 处导数为 $0$ 仍严格增），故凡说「$f^{\prime }>0$ 恒成立」的选项都可疑；其二，复合 $-x$ 会翻转单调性、再乘 $-1$ 又翻回来，两次翻转回到增加。用定义逐步推 $f(-x_1)$ 与 $f(-x_2)$ 最稳妥。

本题考查单调性的定义与「可导 ↔ 导数符号」的区别。 条件说明 $f$ 严格单调增加，但严格增不等于导数处处为正。

排除 A： 严格单调增加只保证 $f^{\prime }(x)\ge 0$，个别点可为 $0$（如 $f(x)=x^3$ 严格增但 $f^{\prime }(0)=0$），故 A 不必成立；同理 B 也不必成立。

判定 C、D： 因 $f$ 严格增，当 $x_1>x_2$ 时 $-x_1<-x_2$，于是 $f(-x_1)<f(-x_2)$，即 $f(-x)$ 关于 $x$ 单调减少，C 错。

由 $f(-x_1)<f(-x_2)$ 两边乘 $-1$：$-f(-x_1)>-f(-x_2)$，即当 $x_1>x_2$ 时 $-f(-x_1)>-f(-x_2)$，故 $-f(-x)$ 单调增加。应选 D。