1995 年考研数学（二） 第 7 题

「曲线与 $x$ 轴围成的面积」一定是 $\int |y|dx$，不能直接积原函数（否则正负相消得到代数面积而非几何面积）。找零点 $0,1,2$ 分段定号：$(0,1)$ 段在轴下方取负号，$(1,2)$ 段在轴上方取正号。D 是代数和（错），A 符号在 $(1,2)$ 段反了（错）。

本题考查平面图形面积（定积分几何应用）。 面积是 $|y|$ 的积分，需按 $y$ 的正负分段去绝对值。

曲线与 $x$ 轴交点为 $x=0,1,2$。判断符号：
- 当 $0<x<1$ 时，$x>0,x-1<0,2-x>0$，故 $y<0$；
- 当 $1<x<2$ 时，$x>0,x-1>0,2-x>0$，故 $y>0$。

面积等于 ${\int }_0^2|y|dx$，在 $[0,1]$ 上取相反数、在 $[1,2]$ 上取原式：
$$A=-{\int }_0^{1}x(x-1)(2-x)dx+{\int }_1^{2}x(x-1)(2-x)dx.$$
故应选 C。