1995 年考研数学（二） 第 6 题

选择题问「必有」，正面难证就反证 + 举反例。D 的关键：$\phi =f\cdot \frac{\phi }{f}$，若商连续则 $\phi$ 是两连续函数之积必连续，与已知矛盾。A、B、C 的破绽在于「间断点可能被复合/平方抹平」——平方把 $\pm 1$ 变常数、复合到恒不取间断点处的 $f$ 值，都能让间断消失。

本题考查连续函数的运算与复合的连续性。 用「连续函数之商（分母非零）仍连续」反证 D，并对 A、B、C 各举反例。

D 正确（反证法）： 记 $g(x)=\frac{\phi (x)}{f(x)}$。若 $g(x)$ 处处连续，则 $\phi (x)=f(x)g(x)$ 是两个连续函数之积，必连续，与「$\phi (x)$ 有间断点」矛盾。故 $\frac{\phi (x)}{f(x)}$ 必有间断点。

A 不成立： 取 $\phi (x)=\{\begin{array}{ll}1,& x=0\\ 0,& x\ne 0\end{array}$（在 $0$ 间断），$f(x)=x^2+1$（连续且非零）。因 $f(x)\ge 1>0$ 恒不为 $0$，故 $\phi [f(x)]\equiv 0$ 连续。

B 不成立： 取狄利克雷型 $\phi (x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in \mathbb{Q}\\ -1,& x\notin \mathbb{Q}\end{array}$（处处间断），但 $[\phi (x){]}^2\equiv 1$ 连续。

C 不成立： 取上面的 $\phi (x)=\{\begin{array}{ll}1,& x=0\\ 0,& x\ne 0\end{array}$，$f(x)\equiv 1$（连续非零），则 $f[\phi (x)]\equiv 1$ 连续。综上应选 D。