1995 年考研数学（二） 第 5 题

找渐近线按「铅直—水平—斜」顺序排查。函数处处连续先排除铅直；再算 $x\to \pm \infty$ 的极限，$e^{x^2}$ 增长远快于 $x^2$，极限为 $0$，故有水平渐近线 $y=0$。一旦水平渐近线存在，同侧就不会再有斜渐近线。

本题考查曲线渐近线的判定。 依次检查铅直、水平、斜渐近线。

函数 $y=x^2{e}^{-x^2}$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上处处有定义且连续，无铅直渐近线。

考察 $x\to \pm \infty$ 的极限：
$$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }{x}^2{e}^{-x^2}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^2}{e^{x^2}}=0,$$
（指数增长快于幂函数），故 $y=0$ 是水平渐近线。既有水平渐近线，则无斜渐近线。

所以曲线的渐近线方程为 $y=0$。