1995 年考研数学（二） 第 4 题

$n$ 项和且每项分母仅差一个 $k$（相对 $n^2$ 是小量），是夹逼准则的典型信号。把所有分母统一压到最大、最小两个常见分母，分子照抄求和公式；上下界极限都趋于 $\frac{1}{2}$，中间被夹住。这类「分母近似相等」的和，本质是黎曼和 $\frac{1}{n}\sum \frac{k/n}{1+\cdots }$ 的雏形。

本题考查用夹逼准则求 $n$ 项和的极限。 记和式为 $S_n={\sum }_{k=1}^n\frac{k}{n^2+n+k}$，把各项分母统一放大、缩小。

由于 $1\le k\le n$，分母满足 $n^2+n+1\le n^2+n+k\le n^2+n+n$，故
$$\frac{1+2+\cdots +n}{n^2+n+n}\le S_n\le \frac{1+2+\cdots +n}{n^2+n+1}.$$
利用 $1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^2+n}{2}$，得
$$\frac{1}{2}\cdot \frac{n^2+n}{n^2+n+n}\le S_n\le \frac{1}{2}\cdot \frac{n^2+n}{n^2+n+1}.$$

两端极限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{2}\cdot \frac{n^2+n}{n^2+2n}=\frac{1}{2},\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{2}\cdot \frac{n^2+n}{n^2+n+1}=\frac{1}{2}.$$
由夹逼准则，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{1}{2}$。