1994 年考研数学（二） 第 9 题

$\arctan$ 恒介于 $\pm \frac{\pi }{2}$（有界），这是本题的题眼：在 $x=1$、$x=-2$ 处虽然分式趋于 $\infty$，但 $y$ 只发生有限的跳跃，不构成铅直渐近线；真正的铅直渐近线来自 $e^{1/x^2}$ 在 $x=0$ 处爆炸到 $+\infty$。加上 $x\to \infty$ 给出的水平渐近线 $y=\frac{\pi }{4}$，一共 $2$ 条。

本题考查曲线渐近线（水平、铅直）的判定。 分别考察 $x\to \infty$ 与各无定义点。

水平渐近线： $x\to \infty$ 时 $e^{1/x^2}\to e^0=1$，分式 $\to 1$，故 $y\to 1\cdot \arctan 1=\frac{\pi }{4}$，得水平渐近线 $y=\frac{\pi }{4}$。

铅直渐近线候选为无定义点 $x=1,x=-2,x=0$（注意 $\arctan$ 恒有界于 $\pm \frac{\pi }{2}$）：
- $x=1$：$e^{1/x^2}\to e$，分式 $\to \pm \infty$ 使 $\arctan \to \pm \frac{\pi }{2}$，$f(1^{-})=-\frac{\pi e}{2}$、$f(1^{+})=\frac{\pi e}{2}$，均有限（跳跃间断），不是铅直渐近线；
- $x=-2$：同理 $f(-2^{-})=\frac{\pi e^{1/4}}{2}$、$f(-2^{+})=-\frac{\pi e^{1/4}}{2}$，均有限，不是；
- $x=0$：$e^{1/x^2}\to +\infty$，而 $\arctan \frac{1}{(-1)(2)}=\arctan \left(-\frac{1}{2}\right)<0$，故 $y\to -\infty$，$x=0$ 是铅直渐近线。

共 $2$ 条渐近线（$y=\frac{\pi }{4}$ 与 $x=0$），应选 B。