1994 年考研数学（二） 第 8 题

题目给微分方程，目的就是让你算出驻点处的二阶导数。把 $f^{\prime }(x_0)=0$ 代进 $f^{\prime \prime }=e^{\sin x}-f^{\prime }$，得 $f^{\prime \prime }(x_0)=e^{\sin x_0}$，而指数函数恒正。驻点且二阶导为正，正是极小值的第二充分条件。

本题考查极值的第二充分条件，微分方程只是用来算出 $f^{\prime \prime }(x_0)$。 由方程 $f^{\prime \prime }(x)=e^{\sin x}-f^{\prime }(x)$。

在 $x_0$ 处代入 $f^{\prime }(x_0)=0$：
$$f^{\prime \prime }(x_0)=e^{\sin x_0}-f^{\prime }(x_0)=e^{\sin x_0}>0.$$

于是 $f^{\prime }(x_0)=0$ 且 $f^{\prime \prime }(x_0)>0$，由极值第二充分条件，$f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值，应选 C。